Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны, если сторона ромба
равна \(\displaystyle 8{\small,}\) а острый угол равен \(\displaystyle 30^\circ.\)
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – ромб, \(\displaystyle O\) – точка пересечения его диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small.}\) В задаче требуется найти длину отрезка \(\displaystyle OK{\small.}\)
План решения задачи
1. Найдем площадь ромба.
2. Найдем площадь треугольника \(\displaystyle AOB{\small.}\)
3. Найдем длину отрезка \(\displaystyle OK{\small.}\)
1. Поскольку площадь ромба равна произведению квадрата стороны и синуса угла между сторонами
\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha {\small,}\)
то
\(\displaystyle S_{ромб}=8^2 \cdot \sin 30^{\circ}=64 \cdot \frac{1}{2}= 32{\small.}\)
2. По свойству ромба диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) перпендикулярны, по свойству параллелограмма они делятся пополам точкой \(\displaystyle O{\small.}\) Тогда прямоугольные треугольники \(\displaystyle AOB{\small,}\) \(\displaystyle COB{\small,}\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle AOD\) равны по двум катетам.
Значит, у треугольников \(\displaystyle AOB{\small,}\) \(\displaystyle BOC{\small,}\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle DOA\) равные площади и
\(\displaystyle S_{ABO}=\frac{1}{4} S_{ABCD}=\frac{1}{4} \cdot 32= 8 {\small.}\)
3. \(\displaystyle OK\) – высота треугольника \(\displaystyle AOB{\small.}\)
Поскольку площадь треугольника \(\displaystyle AOB\) равна половине произведения основания на высоту
\(\displaystyle S_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OK {\small,}\)
то
\(\displaystyle 8=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot OK {\small,}\)
\(\displaystyle 8=4 \cdot OK {\small,}\)
\(\displaystyle OK=\frac{8}{4}=2 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 2 {\small .}\)