Найдите площадь ромба, если его высота равна \(\displaystyle 2{\small,}\) а острый угол \(\displaystyle 30^\circ{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle a\) – сторона ромба.
Воспользуемся формулой для вычисления площади ромба
\(\displaystyle S=a^2 \sin \alpha {\small,}\)
где \(\displaystyle \alpha \) – угол между сторонами ромба.
В данном случае \(\displaystyle \alpha = 30^\circ {\small,}\) значит, \(\displaystyle \sin \alpha =0{,}5{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle S=a^2 \cdot 0{,}5 {\small .}\)
Воспользуемся другой формулой для вычисления площади ромба
\(\displaystyle S=h\cdot a{\small,}\)
где \(\displaystyle h\) – высота ромба.
В данном случае \(\displaystyle h =2{\small,} \) поэтому
\(\displaystyle {S} = {2 }\cdot a {\small.}\)
Из двух соотношений
\(\displaystyle S=a^2 \cdot 0{,}5 \)
и
\(\displaystyle {S} = {2 }\cdot a\)
получаем уравнение
\(\displaystyle a^2 \cdot 0{,}5 = {2 }\cdot a {\small.}\)
Поскольку длина отрезка не равна нулю, можно разделить обе части равенства на \(\displaystyle 0{,}5a {\small.}\)
\(\displaystyle a^2 \cdot 0{,}5 = {2 }\cdot a \, | :\color{red}{0{,}5 a}{\small ,}\)
\(\displaystyle a = {4 } {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle S=h\cdot a = 2\cdot 4 = 8{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 8 {\small .}\)