Точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) ромба \(\displaystyle ABCD{\small,}\) биссектрисы треугольника \(\displaystyle ABO\) пересекаются в точке \(\displaystyle L{\small.}\) Найдите угол \(\displaystyle ALB{\small.}\) Ответ дайте в градусах.
Пусть \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle BN\) – биссектрисы треугольника \(\displaystyle ABO{\small.}\)
По свойству ромба диагонали перпендикулярны. Значит, угол \(\displaystyle AOB\) – прямой.
Тогда сумма углов \(\displaystyle BAO\) и \(\displaystyle ABO\) треугольника \(\displaystyle AOB\) равна
\(\displaystyle \angle ABO+\angle BAO= 180^{\circ} - \angle AOB=180^{\circ} - 90^{\circ}= 90^{\circ}.\)
Значит, сумма углов \(\displaystyle BAL\) и \(\displaystyle ABL\) треугольника \(\displaystyle ALB\) равна
\(\displaystyle \angle ABL+\angle BAL=\frac{1}{2}\angle ABO+\frac{1}{2}\angle BAO= \frac{1}{2}\left(\angle ABO+\angle BAO\right)= \frac{1}{2}\cdot 90^{\circ}=45^{\circ}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle \angle ALB= 180^{\circ} -\angle ABL-\angle BAL=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.\)
Ответ: \(\displaystyle 135 \small{.}\)